二丶证明：对任意正整数 n，总存在一个 n的倍数，其十进位表示中每一位数字都是奇数（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的数字）。

看了一遍题目，韩川先拾起笔，将黑板上的题目抄到了笔记本上，然后才开始思索。

这两道题目都是数论题，而数论是竞赛数学里最不讲道理的分支之一。

它不像几何那样可以靠辅助线打开局面，也不像代数那样有固定的公式可以套。数论靠的是数感丶是灵感丶是对数字结构那种近乎神秘的洞察力。

有时候一道题卡住了，不是因为知识不够，而是因为你没有站在正确的角度去看它。

韩川先看向了第一问。

【求证对于任意正整数n，存在一个n的倍数，其所有数字均为0或1。】

盯着它看了一会，韩川脑海中的第一反应是直接寻找一个由0和1组成的数，并让它被 n整除。

但下一刻，他就迅速将这个解题思路排除了。

因为 n是任意正整数，没有规律可循。

这种基础版的凑数和构造倍数，除非他能有一台超算，否则靠纯算寻找答案的思路很显然行不通。

「有意思，这个命题看起来平平无奇，但实际上难度还不小的样子。」

看着题目，韩川念叨了一句，眼中带上了感兴趣和兴奋的神色。

经过这些天的学习，他现在愈发喜欢用已有的知识挑战自己的极限了。

若是能解开以前做不到的难题，那么收获就像是直接注射了内啡肽一样快乐。

思索着，他重新阅读了一遍题目。

如果构造倍数行不通，那么将它和同余挂钩起来行吗？

想着，他捏着笔迅速在洁白的稿纸上写下了一行算式。

【考虑序列ak=11...1{k个1}其中 k=1，2，…，n+1，这 n+1个数模n的余数只可能取0，1…，n?1。】

【由鸽巢原理，存在两个不同的下标 i<j使得a i≡a j(mod n).】